Zufallsgröße bis Standardabweichung - ein Überblick

Zufallsgröße bis Standardabweichung - ein Überblick

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* steht für "mal", ^ für "hoch", / für einen Bruchstrich
   Bernoulliversuch      Binomialverteilung      binomvert      Erwartungswert      Form      Häufigkeiten      Histogramm      kumulierten      natürlichen      Quadratwurzel      quadrierte      reellen      Standardabweichung      Summe      Tabelle      Umgebung      Varianz      Verteilung      vorzeichenfrei      Wahrscheinlichkeit      Wahrscheinlichkeiten      Wiederholungen      Zufallsgröße   
Um die Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung systematisch bearbeiten zu können, werden in der Stochastik einige neue Begriffe eingeführt. Inhaltlich sollte das meiste davon jedoch schon bekannt sein.

Die ist das, was der Variablen entspricht und beschreibt das zu untersuchende Ereignis, z.B. die Augensumme beim Würfeln. Üblicherweise wird die Zufallsgröße mit X bezeichnet. Im Unterschied zu den Variablen in der Analysis, deren Definitionsmenge in der Regel die Zahlen sind, bezieht man sich hier auf die Zahlen als Definitionsmenge.

Eine entspricht der Funktion. Es handelt sich also um eine Zuordnung, die jedem Wert k der Zufallsgröße X die entsprechende P(X=k) des Ereignisses zuordnet.Bei der Verteilung P(X ≤ k) wird dann nicht mehr die Wahrscheinlichkeit des Einzelereignisses betrachtet, sondern die der Wahrscheinlichkeiten von P(X=0) bis P(X=k).
Die Werte k, die die Zufallsgröße X annehmen kann, sind in der Regel stark eingeschränkt. Daher lassen sich Verteilungen gut als oder als darstellen.

Um Aussagen über den Ausgang eines Zufallsexperiments zu machen, wird der E(X) berechnet. Hierbei handelt es sich um nichts anderes als den gewichteten Mittelwert der einzelnen Werte k der Zufallsgröße - als Gewicht wird dabei die jeweilige Wahrscheinlichkeit anstatt der Häufigkeit verwendet. Zur Berechnung ergänzt man die Tabelle der Verteilung um eine weitere Spalte k.P(X=k), berechnet diese Werte und summiert über alle Zeilen der Tabelle. Der Erwartungswert wird normalerweise nicht erheblich vom Wert k mit der größten Wahrscheinlichkeit abweichen.

Um beurteilen zu können, ob die Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung weit auseinanderliegen oder doch recht ähnlich sind, werden die aus der Statistik bekannten Größen und verwendet. Hier handelt es sich um die bekannten Größen - mit dem Unterschied, dass in der Statistik "reale" Daten mit ihren die Grundlage bilden, hier nun die die zu untersuchenden Daten liefert und die Häufigkeiten durch die jeweiligen ersetzt werden.
Die Varianz gibt die mittlere Abweichung aller Werte zum Erwartungswert an - quadriert wird, um zu bleiben, da es für die Untersuchung der Streuung unerheblich ist, ob die Werte k nach oben oder unten vom Erwartungswert abweichen.Um wieder in dieselbe Größenordung wie die Werte k zu kommen, ermittelt man dann aus der Varianz die Standardabweichung, indem die der Varianz berechnet wird.
Zur Berechnung der Varianz ist es nicht notwendig, für jeden Wert k die Abweichung zum Erwartungswert zu berechnen. Durch Umformung kann gezeigt werden, dass zur Berechnung der Varianz V(X) für jedes k der Wert des Term k².P(X=k) berechnet werden muss, diese werden addiert und von der Summe wird der quadrierte Erwartungswert subtrahiert.

Handelt es sich beim betrachteten Zufallsversuch um einen , also einen Versuch mit nur zwei Ergebnissen (Erfolg oder Misserfolg), so vereinfachen sich die Berechnungen erheblich.
Die mathematische Modellierung eines Bernoulliversuchs ist die , deren Wahrscheinlichkeiten P(X=k) sich mit Hilfe der Pfadregeln und etwas Kombinatorik aus der Anzahl der möglichen Kombinationen von Erfolg und Misserfolg, der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p ermitteln lassen.

Da sich viele Zufallsversuche durch geschickte Formulierung als Bernoulliversuche interpretieren lassen, werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die gängigen Wiederholungszahlen n in Tafelwerken veröffentlicht, um die Berechnung abzukürzen. Auch die Tabellenkalkulationen, z.B. MS Excel, bieten Funktionen für die Binomialverteilung an. Hier lassen sich dann für beliebige Wiederholungszahlen dei Verteilungen berechnen.
Sowohl im Tafelwerk als auch in der Tabellenkalkulation kann man kumulierte Verteilungen in einem Schritt bestimmen, da die entsprechenden Wahrscheinlichkeitswerte über Tabellen oder Programmfunktionen zur Verfügung gestellt werden.

Für MS Excel lautet der entsprechende Zelleintrag =(k; n; p; kumuliert?). Das "=" am Anfang ist notwendig, damit Excel den Eintrag als zu berechnende Funktion akzeptiert, n steht für die Anzahl der . Soll P(X=k) berechnet werden, wird die Frage nach "kumuliert" verneint, indem and dieser Stelle "falsch" eingetragen wird. Für die Berechnung von P(X ≤ k) muss dort "wahr" eingetragen werden.

Die einer Verteilung, z.B. sehr konzentriert um den Erwartungswert oder flach und weit verteilt kann man mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit einer um den Erwartungswert beurteilen. Je größer die Umgebung gewählt werden muss um auf eine Gesamtwahrscheinlichkeit von z.B. 80% zu kommen, desto flacher wird die Verteilung sein (flacher heißt dabei, dass die größte auftretende Einzelwahrscheinlichkeit einen relativ kleinen Wert hat).




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ma/st/stoch2.txt · Zuletzt geändert: 2011/09/09 20:59 (Externe Bearbeitung)
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